Hàm phức

I. Số phức

1. Dạng đại số của số phức

Số phức z là số có dạng đại số z = a + bi, với a và b là các số thực, i là đơn vị ảo, với i² = -1.

Số thực a được gọi là phần thực của z, kí hiệu là Re(z).

Số thực b được gọi là phần ảo của z, kí hiệu là Im(z).

Và bi được gọi là số thuần ảo của z.

2. Mặt phẳng phức

Số phức z = a + bi có thể được biểu diễn trên mặt phẳng Đề-các, gọi là mặt 

phẳng phức hay mặt phẳng z, với trục hoành là trục thực và trục tung là trục ảo.

Như vậy, số phức z = a + bi xác định một điểm có toạ độ (a, b).

Hình 1.1

Biểu diễn số phức z và số phức liên hợp trong mặt phẳng phức.

Thí dụ:    

           Số phức −3.5 + 2i có:

           Re(-3.5 + 2i) = -3.5 là số thực.

           Im(-3.5 + 2i) = 2 là số ảo.

Như thế, số phức z được viết là

           z = Re(z) + Im(z)i. 

3. Số phức liên hợp

3.1 Định nghiã

Cho số phức z = a + bi khác 0, số phức  = a – bi được gọi là số phức liên hợp của z.

3.2 Tính chất của số phức liên hợp:

           1)   z x  =  a² + b² là một số thực.       

   

           2)=  + '

              

           3)=   x '

           4)    = / '

4. Đại số của số phức

Cho hai số phức khác 0, z = a + ib và w = m + in

4.1 Hai số phức bằng nhau

           z = w nếu và chỉ nếu a = m và b = n.

4.2 Phép cộng và trừ hai số phức:

           z + w = a + ib + m + in = (a + m) + i(b + n)

           z - w = a + ib – (m + in) = (a - m) + i(b - n)

4.3 Phép nhân hai số phức:

           zw = (a + ib)(m + in) = am + ian + ibm + i²bn

               = am + ian + ibm – bn

               = (am - bn) + i(an + bm)

4.4 Phép chia hai số phức:

 

Nếu dùng số liên hợp, ta có:

             

5. Tam giác Pascal

Để triển khai những số phức dạng (x + y)ⁿ, ta có thể dùng những hệ số của tam giác Pascal dưới đây

                                    1

                                  1  1

                               1   2   1

                             1   3   3   1

                          1   4   6   4   1

                                  . . .

Hàng thứ nhất là (x + y)⁰ = 1

Hàng thứ hai là (x + y)¹ = (x + y)

Hàng thứ ba là (x + y)² = x² + 2xy + y²

Hàng thứ tư là (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Hàng thứ năm là (x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

Thí du:

           (2-i)⁴ = 2⁴ + 4(2³)(-i) + 6(2²)(-i)² + 4(2)(-i)³ + (-i)⁴

                    = 16 – 32i + 24(-i)² + 8(-i)³ + (-i)⁴

                    = 16 – 32i -24 + 8i + 1

                    = -7 – 24i

6. Trường số phức

Tập hợp tất cả các số phức hay trường số phức được ký hiệu là C.

Cho u, w, z là 3 số phức Î C, thì những tiên đề sau:

6.1 Phép cộng:

           1) z + w Î C (tính đóng kín).

           2) z + w = w + z (tính giao hoán).

           3) (u + w) + z = u + (w + z)  (tính kết hợp).

           4) Đơn vị cộng 0 thoả mãn z + 0 = 0 + z = z.

           5) Nghịch đảo cộng, kí hiệu –z, thoả mãn z + (-z) = (-z) + z = 0.

6.2 Phép nhân:

           6) zw Î C (tính đóng kín).

           7) zw = wz (tính giao hoán).

           8) (uw)z = u(wz) (tính kết hợp).

           9) Đơn vị nhân 1 thoả mãn z.1 = 1.z = z.

           10) Nghịch đảo nhân, kí hiệu z^-1, thoả mãn zz^-1 = z^-1z = 1.

6.3 Tính phân bố của cộng và nhân:

           11) (w + z)u  = wu + zu.

           12) u(w + z) = uw + uz.

Các tiên đề trên được thoả mãn và C được gọi là trường số phức.

7. Dạng cực của số phức

Hình 1.2

Toạ độ cực của số phức z.

7.1 Môđun

Cho số phức z = a + bi, thì z x = a² + b².

Căn bậc hai của z x  được gọi là môđun của z, kí hiệu là |z|.

Như vậy, 

           |z| =                                  

Tính chất của môđun

           1) || = |z|

           2) |z₁z₂| = |z₁||z₂|

           3) |zⁿ| = |z|ⁿ

           4) |z_1/z₂| = |z₁|/|z₂|                

           5) Bất đẳng thức tam giác

               | z₁  + z₂ |< |z₁| + |z₂|

               | z₁ + z₂ + … + z_n|< |z₁| + |z₂| + … + |z_n|

               | z₁  + z₂ |> |z₁| - |z₂|

               | z₁  - z₂ |> |z₁| - |z₂|

7.2 Acgumen

Cho số phức z = a + bi, thì góc q giữa chiều dương của trục thực Ox và đường thẳng Oz được gọi là acgumen của z, kí hiệu là arg(z). 

Giá trị chính của arg(z), kí hiệu Arg(z), là giá trị duy nhất q mà -p < q £ p.

Ta có đẳng thức:

           arg(z) = Arg(z) + 2np,       n = 0, ±1, ±2, …

Giá trị chính cũng có thể là giữa 0 và 2p.

Tính chất của  acgumen

           1) arg(z₁ x z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)

           2) arg(z_1/z₂) = arg(z₁) - arg(z₂)

           3) arg(zⁿ) = n arg(z)

7.3 Định nghĩa

Số phức z = a + bi có thể viết dưới dạng

           z = a + bi =(a /  + ib /).

Đặt

           r = |z|, q = arg(z),

ta có:

           z = r(cosq + isinq)

gọi là dạng cực của z. 

Chú ý: Để biến đổi giữa số phức z dạng đại số và dạng cực, ta dùng

           r = |z| > 0 và tanq = b/a

7.4 Phép toán trên các số phức dạng cực

Cho hai số phức dạng cực khác 0,

           z = r(cosq + i sinq)

           z’ = r’(cosq’ + i sinq’)

1) Hai số phức dạng cực bằng nhau

nếu và chỉ nếu

           r = r’ và q = q’    

2) Phép nhân số phức dạng cực

           z  z’ = r r’ (cos(q + q’) + i sin(q + q’))

3) Phép chia số phức dạng cực

           z/z' = r/r' (cos(q - q’) + i sin(q - q’))

4) Luỹ thừa số phức dạng cực (công thức Moivre).

           zⁿ = rⁿ (cos(n q) + i sin(n q))

5) Khai căn số phức dạng cực

Mọi số phức khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng cực

           w_k =(cosy_k + i siny_k)

           y_k = q/n + (k2p)/n, với k = 0, 1, …, n – 1.

8. Dạng mũ của số phức

8.1 Định nghĩa

Dùng công thức Euler:

           e^iq = cosq + i sinq

ta có thể viết số phức z = r(cosq + isinq) dưới dạng mũ

           z = re^iq

8.2 Phép toán trên các số phức dạng mũ

Cho hai số phức dạng mũ khác không

           z₁ = r₁ e^iq1 và z₂ = r₂ e^iq2

1) Hai số phức dạng mũ bằng nhau

nếu và chỉ nếu

           r₁ = r₂ và q₁ = q₂ + 2np, n Î Z 

2) Phép nhân dạng mũ

           e^iq1 e^iq2 = (cosq₁ + isinq₁) (cosq₂ + isinq₂)

                       = (cosq₁ cosq₂ - sinq₁ sinq₂) + i(sinq₁ cosq₂ + cosq₁ sinq₂)

                       = cos(q₁ + q₂) + isin(q₁ + q₂)

                       = e^{i(q1 + q2)}

Suy ra,

            z₁ z₂ = r₁ r₂ e^{i(q1 + iq2)}

Như vậy, muốn nhân hai số phức, ta nhân môđun và cộng acgumen.

3) Phép chia dạng mũ

z1/z2  = r1/r2.(eⁱq¹ e-ⁱq2)/(eⁱq2 e-ⁱq2)= r1/r2. eⁱ⁽q^{1 -} q2)/eⁱ⁰⁾ = r1/r2. eⁱ⁽q^{1 -} q2)

Như vậy, muốn chia hai số phức, ta chia môđun và trừ acgumen.

4) Luỹ thừa dạng mũ (Công thức De Moivre)

Với z₁ = 1 = 1e^io và z₂ = z = re^iq, ta có nghịch đảo của z:

           1/z = z^-1 = 1/r e^-iq

Ta cũng có số liên hợp của z:

           = r e-^iq

Với z₁ = z₂ = z = re^iq, ta có

           z² = r²e^i2q

Dùng quy nạp, ta có thể chứng minh rằng

           zⁿ = rⁿ e^inq, n Î Z

Nếu r = 1, thì công thức trên trở thành

           (e^iq)ⁿ = e^inq, n Î Z 

Đây là công thức De Moivre

           (cosq + i sinq)ⁿ =  cos(n q) + i sin(n q), n Î Z 

5) Căn và luỹ thừa phân của số phức

Cho số phức z khác không.

a. Căn bậc n của z là bất cứ số phức w nào thoả mãn

           wⁿ = z

Cho z = re^iq  và w = re^ij , ta có

           rⁿe^inj  = re^iq 

Suy ra,

             rⁿ  = r 

Và         nj = q + 2kp, kÎZ

Nếu gọi là căn bậc n của số thực dương r, ta có

           r =

           j_k = q/n + (k2p)/n,  kÎZ 

Do đó, các căn bậc n của z là các số phức

           w_{k =} e^{i(q/n + (2kp)/n)}, kÎZ

Với dạng mũ này, tất cả căn bậc n của z đều nằm trên vòng tròn tâm O bán kính  

và cách đều nhau một góc 2p/n, bắt đầu từ góc q/n.

Vậy, ta chỉ có n căn khi k = 0, 1, 2, …, n-1, vì bất cứ số phức z = re^iq khác không nào 

cũng chỉ có n căn bậc  n:     

           w_{k =}e^{i(q/n + (2kp)/n)}, (k = 0, 1,2, …, n-1)

Thí dụ: Tìm căn bậc n của 1.

Xét phương trình

           zⁿ = 1, nÎZ⁺

Vì        (e^z)ⁿ = e^ze^z…e^z

Căn bậc n của 1 là

           cos2kp/n + isin2kp/n = e^{2kpi/n ,} k= 0, 1,2, …, n-1

Nếu     w = e^2pi/n, thì căn bậc n là 1, w, w², …, w^n-1.

Thí dụ: Tìm căn bậc 4 của 2.

Để tìm căn bậc n của một số a, ta viết

           rⁿ e^inq = a eⁱ⁰

Rồi cân bằng môđun và acgumen.

Lặp lại thủ tục này bởi cộng thêm 2p, ta có:

Căn thứ nhất là:

           (re^iq)⁴ = 2 eⁱ⁰

Suy ra,

           r = 2^1/4,      q = o

Căn thứ hai là:

           (re^iq)⁴ = 2 e^i2p

Suy ra,

           r = 2^1/4,      q = p/2

           z = 2^1/4 e^ip/2 = 2^1/4[cos(p/2) + isin(p/2)] = i2^1/4

Căn thứ ba là:

           (re^iq)⁴ = 2 e^i4p

Suy ra,

           r = 2^1/4,      q = p

           z = 2^1/4 e^ip = 2^1/4[cos(p) + isin(p)] = -2^1/4

Căn thứ bốn là:

           (re^iq)⁴ = 2 e^i6p

Suy ra,

           r = 2^1/4,      q = 3p/2

           z = 2^1/4 e^i3p/2 = 2^1/4[cos(3p/2) + isin(3p/2)] = -i2^1/4

b. Luỹ thừa phân của một số phức z được định nghĩa như sau:

           z^m/n = (z^1/n)^m = ()^m e^{i(q + 2kp)}, (k = 0, 1,2, …, n-1)

                                                           

Tiểu sử

Hoàng Văn Thành, bút danh Thanh Hoàng, 

Năm 1947, sinh tại làng Núi Hiểu, xã Đông Tiến, tỉnh Bắc Ninh.

Năm 1954, di cư vào Nam ở Sàigòn.

Năm 1959, đậu tiểu học ở Long Khánh.

Năm 1959, học ở trường Trung Học Đức Minh, Thủ Đức, tỉnh Gia Định.

Năm 1960, học ở Đan Viện Phước Lý, Nhơn Trạch, tỉnh Biên Hoà.

Năm 1964, đậu trung học ở Sàigòn.

Năm 1964, học ở trường Trung Học Hưng Đạo, Sàigòn.

Năm 1965, đậu tú tài 1 ở Sàigòn.

Năm 1966, đậu tú tài 2 ở Sàigòn.

Năm 1966, học ở trường Đại Học Khoa Học, Sàigòn.

Năm 1967, tốt nghiệp Khóa 2 Biên Tập Viên tại Học Viện Cảnh Sát Quốc Gia, Sàigòn.

Năm 1968, Trưởng Phòng Hành Chánh, Ty Cảnh Sát Quốc Gia tỉnh Bình Tuy.

Năm 1969, Trưởng Chi Cảnh Sát Quốc Gia Quận Hàm Tân, tỉnh Binh Tuy.

Năm 1970, Chủ  Sự Phòng Cảnh Sát, Bộ Chỉ Huy Cảnh Sát Quốc Gia tỉnh Bình Tuy.

Năm 1971, tốt nghiệp Khoá 6/70 Sĩ Quan tại Trường Bộ Binh Thủ Đức, tỉnh Gia Định.

Năm 1972, Đại Đội Trưởng Đại Đội 302 Cảnh Sát Dã Chiến, tỉnh Bình Long. Tham chiến Trận An Lộc 1972.

Ngày 07 tháng 7 năm 1972, Tổng thống VNCH Nguyễn Văn Thiệu và Đại tướng Cao Văn Viên, Tổng tham mưu trưởng QLVNCH đã đáp trực thăng đến thăm An Lộc, VNCH đã chiến thắng An Lộc. 
Tại Bộ chỉ huy Sư đoàn 5 BB, Tổng thống VNCH đã đặc cách vinh thăng ngoài mặt trận  “...tất cả các chiến sĩ chiến đấu tại An Lộc đều được thăng một cấp.”

Năm 1973, Đại Đội Trưởng Đại Đội 303 Cảnh Sát Dã Chiến, tỉnh Long Khánh.

Năm 1974, Phụ Tá Chánh Sở Hành Quân, Bộ Chỉ Huy Cảnh Sát Quốc Gia Vùng 3, Biên Hoà.

Năm 1974, Chủ Sự Phòng Hành Quân, Bộ Chỉ Huy Cảnh Sát Quốc Gia tỉnh Biên Hoà.

Năm 1975, tu nghiệp Khoá Bộ Binh Cao Cấp tại Trường Bộ Binh Long Thành, tỉnh Biên Hoà.

Năm 1975, định cư tại California, USA.

Năm 1977, Aviation Maintenance Technician, Spartan School of Aeronautics, Tulsa, Oklahoma, USA.
(with Airframe & Powerplant license from Federal Aviation Administration).

Năm 1978, Aircraft Technician at Rohr Industries, Riverside, California, USA.

Năm 1983, Helicopter Maintenance Technician, Northrop University, Inglewood, California, USA.

Năm 1984, Aircraft Inspector at Teledyne Ryan Aeronautical, San Diego, California, USA.

Năm 1997, Bachelor Degree in Mathematics, San Diego State University, San Diego, California, USA.

Năm 2002, Bachelor Degree in Computer Science, National University, San Diego, California, USA.

Năm 2003, Programmer at Ketema, El Cajon, San Diego, California, USA.

Năm 2004, Programmer at GKN, El Cajon, San Diego, California, USA.

Năm 2006, Giáo Sư Anh Văn tại Đan Viện An Phước, Long Thành, Đồng Nai, Việt Nam.

Năm 2007, Programmer at Ace ClearWater Enterprise, Torrance, California, USA.

Năm 2014, về hưu, sống tại Garden Grove, California, USA. 

Những tác phẩm: 

1. Luật Thơ, 2017. 

2. Chứng minh Toán học, 2018.

3. Bình Long Anh Dũng, 2020.