I. Số phức
1. Dạng đại số của số phức
Số phức z là số có dạng đại số z = a + bi, với a và b là các số thực, i là đơn vị ảo, với i2 = -1.
Số thực a được gọi là phần thực của z, kí hiệu là Re(z).
Số thực b được gọi là phần ảo của z, kí hiệu là Im(z).
Và bi được gọi là số thuần ảo của z.
2. Mặt phẳng phức
Số phức z = a + bi có thể được biểu diễn trên mặt phẳng Đề-các, gọi là mặt
phẳng phức hay mặt phẳng z, với trục hoành là trục thực và trục tung là trục ảo.
Như vậy, số phức z = a + bi xác định một điểm có toạ độ (a, b).
Hình 1.1
Biểu diễn số phức z và số phức liên hợp trong mặt phẳng phức.
Thí dụ:
Số phức −3.5 + 2i có:
Re(-3.5 + 2i) = -3.5 là số thực.
Im(-3.5 + 2i) = 2 là số ảo.
Như thế, số phức z được viết là
z = Re(z) + Im(z)i.
3. Số phức liên hợp
3.1 Định nghiã
Cho số phức z = a + bi khác 0, số phức 
= a – bi được gọi là số phức liên hợp của z.
3.2 Tính chất của số phức liên hợp:
1) z x = a2 + b2 là một số thực.
= a2 + b2 là một số thực.
2)
= + '
= + '
3)
= x '
= x '
4) 
= / '
= / '4. Đại số của số phức
Cho hai số phức khác 0, z = a + ib và w = m + in
4.1 Hai số phức bằng nhau
z = w nếu và chỉ nếu a = m và b = n.
4.2 Phép cộng và trừ hai số phức:
z + w = a + ib + m + in = (a + m) + i(b + n)
z - w = a + ib – (m + in) = (a - m) + i(b - n)
4.3 Phép nhân hai số phức:
zw = (a + ib)(m + in) = am + ian + ibm + i2bn
= am + ian + ibm – bn
= (am - bn) + i(an + bm)
4.4 Phép chia hai số phức:
Nếu dùng số liên hợp, ta có:
5. Tam giác Pascal
Để triển khai những số phức dạng (x + y)n, ta có thể dùng những hệ số của tam giác Pascal dưới đây
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Hàng thứ nhất là (x + y)0 = 1
Hàng thứ hai là (x + y)1 = (x + y)
Hàng thứ ba là (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Hàng thứ tư là (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Hàng thứ năm là (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Thí du:
(2-i)4 = 24 + 4(23)(-i) + 6(22)(-i)2 + 4(2)(-i)3 + (-i)4
= 16 – 32i + 24(-i)2 + 8(-i)3 + (-i)4
= 16 – 32i -24 + 8i + 1
= -7 – 24i
6. Trường số phức
Tập hợp tất cả các số phức hay trường số phức được ký hiệu là C.
Cho u, w, z là 3 số phức Î C, thì những tiên đề sau:
6.1 Phép cộng:
1) z + w Î C (tính đóng kín).
2) z + w = w + z (tính giao hoán).
3) (u + w) + z = u + (w + z) (tính kết hợp).
4) Đơn vị cộng 0 thoả mãn z + 0 = 0 + z = z.
5) Nghịch đảo cộng, kí hiệu –z, thoả mãn z + (-z) = (-z) + z = 0.
6.2 Phép nhân:
6) zw Î C (tính đóng kín).
7) zw = wz (tính giao hoán).
8) (uw)z = u(wz) (tính kết hợp).
9) Đơn vị nhân 1 thoả mãn z.1 = 1.z = z.
10) Nghịch đảo nhân, kí hiệu z-1, thoả mãn zz-1 = z-1z = 1.
6.3 Tính phân bố của cộng và nhân:
11) (w + z)u = wu + zu.
12) u(w + z) = uw + uz.
Các tiên đề trên được thoả mãn và C được gọi là trường số phức.
7. Dạng cực của số phức
Hình 1.2
Toạ độ cực của số phức z.
7.1 Môđun
Cho số phức z = a + bi, thì z x = a2 + b2.
= a2 + b2.
Căn bậc hai của z x được gọi là môđun của z, kí hiệu là |z|.
được gọi là môđun của z, kí hiệu là |z|.
Như vậy,
|z| =
Tính chất của môđun
1) || = |z|
| = |z|
2) |z1z2| = |z1||z2|
3) |zn| = |z|n
5) Bất đẳng thức tam giác
| z1 + z2 |< |z1| + |z2|
| z1 + z2 + … + zn|< |z1| + |z2| + … + |zn|
| z1 + z2 |> |z1| - |z2|
| z1 - z2 |> |z1| - |z2|
7.2 Acgumen
Cho số phức z = a + bi, thì góc q giữa chiều dương của trục thực Ox và đường thẳng Oz được gọi là acgumen của z, kí hiệu là arg(z).
Giá trị chính của arg(z), kí hiệu Arg(z), là giá trị duy nhất q mà -p < q £ p.
Ta có đẳng thức:
arg(z) = Arg(z) + 2np, n = 0, ±1, ±2, …
Giá trị chính cũng có thể là giữa 0 và 2p.
Tính chất của acgumen
1) arg(z1 x z2) = arg(z1) + arg(z2)
2) arg(z1/z2) = arg(z1) - arg(z2)
3) arg(zn) = n arg(z)
7.3 Định nghĩa
Số phức z = a + bi có thể viết dưới dạng
z = a + bi =(a / + ib /).
Đặt
r = |z|, q = arg(z),
ta có:
z = r(cosq + isinq)
gọi là dạng cực của z.
Chú ý: Để biến đổi giữa số phức z dạng đại số và dạng cực, ta dùng
r = |z| > 0 và tanq = b/a
7.4 Phép toán trên các số phức dạng cực
Cho hai số phức dạng cực khác 0,
z = r(cosq + i sinq)
z’ = r’(cosq’ + i sinq’)
1) Hai số phức dạng cực bằng nhau
nếu và chỉ nếu
r = r’ và q = q’
2) Phép nhân số phức dạng cực
z z’ = r r’ (cos(q + q’) + i sin(q + q’))
3) Phép chia số phức dạng cực
z/z' = r/r' (cos(q - q’) + i sin(q - q’))
4) Luỹ thừa số phức dạng cực (công thức Moivre).
zn = rn (cos(n q) + i sin(n q))
5) Khai căn số phức dạng cực
Mọi số phức khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng cực
wk =
(cosyk + i sinyk)
(cosyk + i sinyk)
yk = q/n + (k2p)/n, với k = 0, 1, …, n – 1.
8. Dạng mũ của số phức
8.1 Định nghĩa
Dùng công thức Euler:
eiq = cosq + i sinq
ta có thể viết số phức z = r(cosq + isinq) dưới dạng mũ
z = reiq
8.2 Phép toán trên các số phức dạng mũ
Cho hai số phức dạng mũ khác không
z1 = r1 eiq1 và z2 = r2 eiq2
1) Hai số phức dạng mũ bằng nhau
nếu và chỉ nếu
r1 = r2 và q1 = q2 + 2np, n Î Z
2) Phép nhân dạng mũ
eiq1 eiq2 = (cosq1 + isinq1) (cosq2 + isinq2)
= (cosq1 cosq2 - sinq1 sinq2) + i(sinq1 cosq2 + cosq1 sinq2)
= cos(q1 + q2) + isin(q1 + q2)
= ei(q1 + q2)
Suy ra,
z1 z2 = r1 r2 ei(q1 + iq2)
Như vậy, muốn nhân hai số phức, ta nhân môđun và cộng acgumen.
3) Phép chia dạng mũ
z1/z2 = r1/r2.(eiq1 e-iq2)/(eiq2 e-iq2)= r1/r2. ei(q1 - q2)/ei0) = r1/r2. ei(q1 - q2)
Như vậy, muốn chia hai số phức, ta chia môđun và trừ acgumen.
4) Luỹ thừa dạng mũ (Công thức De Moivre)
Với z1 = 1 = 1eio và z2 = z = reiq, ta có nghịch đảo của z:
1/z = z-1 = 1/r e-iq
Ta cũng có số liên hợp của z:
= r e-iq
Với z1 = z2 = z = reiq, ta có
z2 = r2ei2q
Dùng quy nạp, ta có thể chứng minh rằng
zn = rn einq, n Î Z
Nếu r = 1, thì công thức trên trở thành
(eiq)n = einq, n Î Z
Đây là công thức De Moivre
(cosq + i sinq)n = cos(n q) + i sin(n q), n Î Z
5) Căn và luỹ thừa phân của số phức
Cho số phức z khác không.
a. Căn bậc n của z là bất cứ số phức w nào thoả mãn
wn = z
Cho z = reiq và w = reij , ta có
rneinj = reiq
Suy ra,
rn = r
Và nj = q + 2kp, kÎZ
Nếu gọi là căn bậc n của số thực dương r, ta có
là căn bậc n của số thực dương r, ta có
r =
jk = q/n + (k2p)/n, kÎZ
Do đó, các căn bậc n của z là các số phức
wk = ei(q/n + (2kp)/n), kÎZ
ei(q/n + (2kp)/n), kÎZ
Với dạng mũ này, tất cả căn bậc n của z đều nằm trên vòng tròn tâm O bán kính
và cách đều nhau một góc 2p/n, bắt đầu từ góc q/n.
Vậy, ta chỉ có n căn khi k = 0, 1, 2, …, n-1, vì bất cứ số phức z = reiq khác không nào
cũng chỉ có n căn bậc n:
wk =ei(q/n + (2kp)/n), (k = 0, 1,2, …, n-1)
ei(q/n + (2kp)/n), (k = 0, 1,2, …, n-1)
Thí dụ: Tìm căn bậc n của 1.
Xét phương trình
zn = 1, nÎZ+
Vì (ez)n = ezez…ez
Căn bậc n của 1 là
cos2kp/n + isin2kp/n = e2kpi/n , k= 0, 1,2, …, n-1
Nếu w = e2pi/n, thì căn bậc n là 1, w, w2, …, wn-1.
Thí dụ: Tìm căn bậc 4 của 2.
Để tìm căn bậc n của một số a, ta viết
rn einq = a ei0
Rồi cân bằng môđun và acgumen.
Lặp lại thủ tục này bởi cộng thêm 2p, ta có:
Căn thứ nhất là:
(reiq)4 = 2 ei0
Suy ra,
r = 21/4, q = o
Căn thứ hai là:
(reiq)4 = 2 ei2p
Suy ra,
r = 21/4, q = p/2
z = 21/4 eip/2 = 21/4[cos(p/2) + isin(p/2)] = i21/4
Căn thứ ba là:
(reiq)4 = 2 ei4p
Suy ra,
r = 21/4, q = p
z = 21/4 eip = 21/4[cos(p) + isin(p)] = -21/4
Căn thứ bốn là:
(reiq)4 = 2 ei6p
Suy ra,
r = 21/4, q = 3p/2
z = 21/4 ei3p/2 = 21/4[cos(3p/2) + isin(3p/2)] = -i21/4
b. Luỹ thừa phân của một số phức z được định nghĩa như sau:
zm/n = (z1/n)m = ()m ei
(q + 2kp), (k = 0, 1,2, …, n-1)
)m ei(q + 2kp), (k = 0, 1,2, …, n-1)
No comments:
Post a Comment