Ma Trận

I. Đại cương
1.Định nghĩa:

Ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (số thực hay số phức) theo hàng và cột, có dạng sau:

Hay

Ma trận thường được kí hiệu bởi các chữ cái A, B, C, . . .

Ma trận với m hàng và n cột được gọi là ma trận cỡ m x n.

Hai ma trận trên còn được kí hiệu:

A = (a_ij)mxn

B = [a_ij]mxn

1) Nếu m = n thì A gọi là ma trận vuông cấp n.

Ví dụ: Ma trận vuông cấp 3.

2) Ma trận với chỉ một hàng gọi là ma trận hàng.  

Ví dụ:

B = (2 4 5)

3) Ma trận với chỉ một cột gọi là ma trận cột.

Ví dụ:

4) a_ij gọi là phần tử trên hàng i và cột j của ma trận.

Ví dụ:

Thì a₂₃ = 5 và a₃₁= 3.

5) Ma trận chuyển vị, kí hiệu A^T của ma trận A, là ma trận nhận được

từ ma trận A bằng cách chuyển hàng thành cột (hay cột thành hàng).

Đó là, nếu A = (aij) là ma trận cỡ m x n, thì A^T = (bij) là ma trận cỡ n x m

với bij = aji.

a. Ví dụ: Cho

Thì

b. Tính chất của phép chuyển vị:

Cho A và B là những ma trận và k là một số. Thì:

a) (A + B)^T = A^T + B^T

b) (A^T)^T = A

c) (kA)^T = kA^T

d) (AB)^T = B^TA^T. 
Đó là, chuyển vị của tích là tích của chuyển vị, theo thứ tự ngược lại.

6) Ma trận với mọi phần tử bằng 0 gọi là ma trận không, kí hiệu 0.

Ví dụ: Ma trận không 2 x 3

7) Hai ma trận A và B gọi là bằng nhau, viết A = B, nếu chúng có cùng cỡ và nếu các phần tử tương ứng bằng nhau.

2. Các phép toán ma trận

1) Cộng ma trận
a. Định nghĩa:

Cho hai ma trận A = (a_ij)m×n, B = (b_ij)m×n cùng cỡ m × n.

Tổng của A và B, kí hiệu A + B, được định nghĩa là:

A + B = (c_ij)m×n, với  c_ij = a_ij + b_ij.

Chú ý: Tổng của những ma trận khác cỡ không được định nghĩa.

b. Ví dụ: Cho hai ma trận cùng cỡ 2 x 2

Tổng của hai ma trận A và B là:

c. Định nghĩa:

a) -A = (-)A.

b) A – B = A + (-B).

Ma trận –A gọi là ma trận âm của A.

d. Tính chất của cộng ma trận:

Cho bất kỳ ma trận A, B, C cùng cỡ, ta có:

a) (A + B) + C = A + (B + C)

b) A + 0 = 0 + A = A

c) A + (-A) = (-A) + A = 0

d) A + B = B + A

e) Theo a và d, thì bất cứ tổng của những ma trận:

A₁ + A₂ + … A_n

không cần dấu ngoặc và không theo thứ tự.

2) Nhân một số với ma trận

a. Định nghĩa:

Cho số k và ma trận A = (a_ij)m×n.

Tích của k và A, kí hiệu k.A hay kA, được định nghĩa là:

kA = k(a_ij)mxn.

b. Ví dụ: Cho 3 và ma trận A cỡ 2 x 2

Thì

c. Tính chất của nhân một số với ma trận:

Cho bất kỳ hai số k, k’ và ma trận A, B, C cùng cỡ, ta có:

a) k(A+B) = kA + kB

b) (k + k’)A = kA + k’A

c) (kk’)A = k(k’A)

d) 1A = A

3) Nhân ma trận

a. Định nghĩa:

Tích AB của ma trận hàng A = (ai) và ma trận cột B = (bi) cùng có số phần tử như nhau được định nghĩa là một số (hay ma trận 1 x 1) nhận được bởi nhân những phần tử tương ứng, rồi cộng lại. Đó là,

Ví dụ:

A = (2, -3, 5)

Chú ý: Tích AB không đưọc định nghĩa khi A và B có số phần tử khác nhau.

b. Định nghĩa:

Cho A = (a_ij)mxp và B = (b_ij)pxn. Tích AB là ma trận C = (c_ij)mxn mà phần tử c_ij

được định nghĩa là:

Ví dụ: Cho

Thì

c. Tính chất của nhân ma trận:

a) (AB)C = A(BC)

b) (A+B)C = AC + BC

c) C(A+B) = CA +CB

d) Phép nhân ma trận không giao hoán:

Ví dụ: Cho A và B cùng cỡ 2x2

Thì

Vậy, AB khác BA. Đó là, phép nhân ma trận không giao hoán.

II. Ma trận vuông

1. Định nghĩa:

Ma trận vuông là ma trận với cùng số hàng và số cột. 

Ma trận vuông n x n gọi là ma trận vuông cấp n.

Không phải mỗi hai ma trận đều có thể cộng hay nhân.

Nhưng bất cứ ma trận vuông nào cũng có thể cộng, nhân, và hoán vị

với kết quả là một ma trận vuông.
Ví dụ:
1) Cộng ma trận

2) Trừ ma trận

3) Nhân một số với ma trận

4) Nhân hai ma trận

5) Ma trận chuyển vị A^T của A

Cho

Thì

2. Đường chéo
Cho ma trận vuông A = (aij). Đường chéo hay đường chéo chính của A 

gồm có những số a₁₁, a₂₂, …, a_nn

là những phần tử từ góc trái trên đến góc phải dưới của A.

Ví dụ: Đuờng chéo của ma trận cấp 4

3.Trace

1) Định nghĩa:

Trace của A, viết tr(A), là tổng của những phần tử trên đường chéo.

Đó là,

2) Ví dụ:

3)Tính chất:

Cho A = (a_ij) và B = (b_ij) là những ma trận vuông và bất cứ số k. Thì:

a. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

b. tr(kA) = k(tr(A))

c. tr(A) = tr(A^T)

d. tr(AB) = tr(BA)

4. Ma trận đơn vị

1) Định nghĩa:

Ma trận vuông đơn vị cấp n, kí hiệu I_n hay I, là ma trận với 1 trên đường chéo

và 0 ở những nơi khác.

Cho bất cứ ma trận vuông cấp n, thì ma trận đơn vị I giống như 1. Đó là,

AI = IA = A

Tổng quát hơn, nếu B là ma trận cỡ m x n , thì BI_n = I_mB = B.

Cho bất cứ số k, ma trận kI chứa k trên đường chéo và 0 ở những nơi khác, 
được gọi là ma trận số, hợp với số k.

2) Ví dụ:

a. Ma trận đơn vị cấp 2, 3

Ta thường không viết 0 khi không có nhầm lẫn, như ma trận thứ hai ỏ trên.

b. Ma trận số cấp 2, 3 với k = 3

3) Hàm Kronecker delta được định nghĩa là:

Như vậy, ma trận đơn vị được định nghĩa là

.

5. Lũy thừa của ma trận

1) Định nghĩa:

Cho bất cứ ma trận vuông A. Lũy thừa của A được định nghĩa như sau:

A⁰ = I, A¹ = A, A² = AA, A³ = A²A, …, Aⁿ⁺¹ = AⁿA.

2) Ví dụ:

6. Ma trận khả nghịch

1) Định nghĩa:

Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch, nếu có một ma trận B sao cho

AB = BA = I.

Như thế, ma trận B là duy nhất. Nghịch đảo của A, kí hiệu A^-1.

2) Chú ý:

a. B là nghịch đảo của A nếu và chỉ nếu A là nghịch đảo của B.

b. AB = I nếu và chỉ nếu BA = I. Như vậy, ta chỉ cần chứng tỏ một tích AB

hay BA để xác định hai ma trận đã cho là những nghịch đảo.

3) Ví dụ: Cho

Thì

Vậy, A và B là nghịch đảo của nhau.

7. Những ma trận vuông đặc biệt:

1) Ma trận chéo là ma trận vuông với các phần tử không ở trên đường chéo bằng 0. 
Đó là, aij = 0 với mọi i ≠ j.

Ví dụ:

2) Ma trận tam giác

Có hai loại sau:

a. Ma trận tam giác trên là ma trận vuông với các phần tử dưới đường chéo bằng 0. 
Đó là, aij = 0 với mọi i > j.

Ví dụ:

b. Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo bằng 0. 
Đó là, aij = 0 với mọi i < j.

Ví dụ:

3) Ma trận đối xứng là ma trận vuông với các phần tử đối xứng qua đường chéo bằng nhau. 
Đó là, a_ij = a_ji hay A^T = A.

Ví dụ:

4) Ma trận phản đối xứng là ma trận vuông với các phần tử phản đối xứng qua đường chéo bằng nhau. 
Đó là, a_ij = -a_ji hay A^T = -A.

Chú ý: Các phần tử trên đường chéo của ma trận phản đối xứng phải là 0, 
vì a_ii = -a_ii nghĩa là a_ii = 0.

Ví dụ:

5) Ma trận sơ cấp

Cho ma trận A với hàng R₁, R₂, …, R_m, ta có 3 phép biến đổi hàng sơ cấp sau:

E₁. (Đổi hàng): Đổi hàng Ri và Rj, kí hiệu

E₂. (Tỉ lệ hàng): Nhân hàng Ri với số k khác 0, kí hiệu

E₃. (Cộng hàng): Cộng k hàng Ri với hàng Rj, kí hiệu

Ta có ma trận sơ cấp hàng khi ta thực hiện một phép biến đổi sơ cấp với hàng của một ma trận đơn vị I.

Ví dụ:

Tương tự, ta có ma trận sơ cấp cột khi ta thực hiện một phép biến đổi sơ cấp với cột của một ma trận đơn vị I.