Xác suất toán học

I. Khái niệm

Xác suất toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không biết trước được kết quả khi xảy ra trong một lần quan sát. Nhưng, nếu quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, thì sự phân bố kết quả khá đều đặn.

1. Phép thử

Định nghĩa 1: Phép thử là quá trình tạo một quan sát.

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử không biết trước được kết quả khi xảy ra. Ta có thể liệt kê tất cả các kết quả của phép thử.

Các kết quả liệt kê phải đầy đủ, nghĩa là tất cả các kết quả có thể có phải được bao gồm. Ngoài ra, các kết quả phải loại trừ nhau, nghĩa là không có hai kết quả xảy ra cùng một lúc.

2. Không gian mẫu

Một danh sách các kết quả đầy đủ và loại trừ nhau gọi là không gian mẫu, ký hiệu S. Các kết quả được kí hiệu là O₁, O₂, ..., O_k.

Định nghĩa 2: Không gian mẫu S của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể có. Các kết quả phải đầy đủ và loại trừ nhau. Vậy,

S = {O₁, O₂, ..., O_k}.

Ví dụ 1: Phép thử tung đồng xu cân bằng có 2 kết quả: {H}, {T}, với H là đầu và T là đuôi.

Không gian mẫu S = {H, T}.

Ví dụ 2: Phép thử tung xúc xắc cân bằng có 6 kết quả: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

Không gian mẫu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Hình 1: Sơ đồ Venn cho không gian mẫu S của phép thử tung xúc xắc.

3. Biến cố

Một kết quả của không gian mẫu được gọi là một điểm mẫu hay một biến cố đơn. Tất cả các biến cố khác được cấu tạo từ các biến cố đơn trong không gian mẫu.

Định nghĩa 3: Biến cố, kí hiệu chữ hoa in, là một tập hợp của một hoặc nhiều biến cố đơn trong không gian mẫu.

Định nghĩa 4: Biến cố đơn E là biến cố không thể phân chia được. Mỗi biến cố đơn tương ứng với một và chỉ một điểm mẫu. Vậy, biến cố đơn là tập hợp có một điểm mẫu duy nhất.

Ví dụ 3: Phép thử tung xúc xắc cân bằng có 6 kết quả: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. Mỗi kết quả là một biến cố đơn.

Khi phép thử được tiến hành một lần, bạn sẽ quan sát một và chỉ một biến cố đơn.

Ví dụ 4: Nếu bạn tung xúc xắc một lần và quan sát số1, bạn không thể cùng một lúc quan sát số 2. Vậy, biến cố {1} và {2} là khác biệt và loại trừ nhau.

Tương tự, tất cả các biến cố đơn là các biến cố loại trừ nhau.

Định nghĩa 5: Biến cố đơn E là trong biến cố hợp A nếu A xảy ra bất cứ khi nào E xảy ra.

Ví dụ 5: Phép thử tung xúc xắc cân bằng, biến cố A (quan sát số chẵn) sẽ xảy ra nếu một trong những biến cố đơn {2}, {4}, hay {6} xảy ra. Vậy, A = {2, 4, 6}. Ta còn gọi A là biến cố hợp vì chứa 3 biến cố đơn.

Định nghĩa 6: Biến cố hợp là biến cố có thể phân chia thành các biến cố đơn. Vậy, biến cố hợp là một tập hợp có nhiều điểm mẫu.

Định nghĩa 7: Biến cố chắc chắn là biến cố xảy ra khi thực hiện phép thử.

Ví dụ 6: Tung đồng xu, biến cố {H} hay {T} là biến cố chắc chắn.

Định nghĩa 8: Biến cố không thể, kí hiệu Æ, là biến cố không xảy ra khi thực hiện phép thử.

Ví dụ 7: Tung xúc xắc, biến cố {7} là biến cố không thể.

4. Định nghĩa xác suất

1) Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Giả sử phép thử thoả mãn hai điều kiện:

a. Không gian mẫu S có một số hữu hạn phần tử.

b. Các kết qủa xảy ra đồng đẳng.

Thì xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A), là

P(A) = (số phần tử của A) / (số phần tử của S) = |A| / |S|.

Ví dụ 8: Tung xúc xắc cân bằng, biến cố A (quan sát số chẵn) là A = {2, 4, 6}. Thì |A| = 3, |S| = 6. Vậy,

P(A) = |A| / |S| = 3/6 = 1/2.

Để tính xác suất cổ điển ta dùng cách đếm của giải tích tổ hợp.

2) Định nghĩa tần số của xác suất:

Giả sử phép thử được thực hiện n lần độc lập trong những điều kiện giống nhau, biến cố A xuất hiện S_n(A) lần, thì tần số tương đối của biến cố A là S_n(A)/n.

Theo luật số lớn, khi n tăng lên vô hạn thì S_n(A)/n tiến đến một giới hạn. Giới hạn này là xác suất của biến cố A:

P(A) = limS_n(A)

            n®¥

Trên thực tế, P(A) gần bằng tần số S_n(A)/n khi n đủ lớn.

Ví dụ 9: Tung đồng xu cân bằng, tần số của H gần bằng ½.

3) Định nghĩa chủ quan của xác suất:

Xác suất là mức độ của niềm tin mà ta có trong sự xuất hiện của một biến cố.

Ví dụ 10: Một nhà đầu tư có thể chủ quan xác định xác suất của giá cổ phiếu sẽ tăng trong tháng tới là 60%.

5. Giải thích xác suất:

Cho bất kỳ phương pháp gán xác suất nào, ta có thể giải thích xác suất bằng phương pháp tần số tương đối của một số vô hạn phép thử.

Ví dụ 11: Một nhà đầu tư có thể chủ quan xác định xác suất của giá cổ phiếu sẽ tăng trong tháng tới là 60%. Ta giải thích số 60% như ta có một số vô hạn cổ phiếu với các đặc điểm kinh tế và thị trường tương tự như một trong những nhà đầu tư sẽ mua, 60% trong số họ sẽ tăng giá trong tháng tới.

Ví dụ 12: Theo phương pháp cổ điển, xác suất của 5 trong tung xúc xắc cân bằng là 1/6. Ta giải thích số 1/6 như tỷ lệ số lần 5 được quan sát trên một xúc xắc cân bằng được tung vô số lần.

Trong suy luận thống kê, phương pháp tần số tương đối thường được dùng để giải thích xác suất; nó liên kết dân số và các mẫu thử.

Định nghĩa 12: Dân số (Population): là tập hợp tất cả các dữ liệu liên quan đến một phép thử.

Tham số thường được dùng để diễn tả một dân số.

Định nghĩa 13: Mẫu thử (Sample): là tập hợp các dữ liệu được rút ra từ dân số.

Thống kê thường được dùng để diễn tả một mẫu thử.

Sau đó, số liệu thống kê mẫu thử được dùng để suy luận về dân số.

6. Không gian mẫu rời rạc

Ví dụ 13: Số các điểm mẫu của phép thử tung xúc xắc là hữu hạn, gồm sáu điểm mẫu khác nhau tương ứng với sáu biến cố đơn {1}, {2}, {3}, {4}, {5} và {6}. Không gian mẫu là 

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Ví dụ 14: Để đếm vi khuẩn trong mẫu thực phẩm, ta đặt E₀ là quan sát 0 vi khuẩn, E₁ là quan sát 1 vi khuẩn, … Số các điểm mẫu của phép thử đếm vi khuẩn là vô hạn đếm được, gồm số điểm mẫu tương ứng một-một với số nguyên. Không gian mẫu là 

S = {E₀, E₁, E₂, ...}.

Định nghĩa 14: Không gian mẫu rời rạc là không gian chứa một hữu hạn hoặc một vô hạn đếm được của các điểm mẫu.

7. Tiên đề của xác suất

Định nghĩa 15: Giả sử phép thử có không gian mẫu S. Mỗi biến cố A trong S (A là một tập con của S) ta gán một số, P(A), gọi là xác suất của A, theo các tiên đề sau:

Tiên đề 1: P(A) > 0.

Tiên đề 2: P(S) = 1.

Tiên đề 3: Nếu A₁, A₂, ... là một chuỗi vô hạn đếm được biến cố, mà từng cặp loại trừ nhau trong S, thì

P(A₁ÈA₂È ...) = SP(A_i).

Tương tự, nếu A₁, A₂, ..., A_n là một chuỗi hữu hạn biến cố, mà từng cặp loại trừ nhau trong S, thì P(A₁ÈA₂È...ÈAn) = SP(A_i).

8. Xác suất có điều kiện

Xác suất của một biến cố sẽ thay đổi tùy theo sự xuất hiện hoặc sự không xuất hiện của một hoặc nhiều biến cố liên quan.

Ví dụ 15: Xác suất không điều kiện của 1 trong tung xúc xắc cân bằng là 1/6. Xác suất có điều kiện của 1, cho rằng số chẵn đã xảy ra là 1/3.

Định nghĩa 16: Xác suất có điều kiện của biến cố A, cho rằng biến cố B đã xảy ra, là

P(A|B) = P(AÇB) / P(B), nếu P(B)> 0.

Ví dụ 16: Tung xúc xắc cân bằng một lần, tìm xác suất của 1, cho sự xuất hiện của số chẵn.

Giải: Cho

A: Quan sát 1.

B: Quan sát số chẵn.

Ta có P(AÇB) = 1/6 và P(B) = ½.

Vậy, xác suất của A, cho rằng B đã xảy ra, là

P(A|B) = P(AÇB) / P(B) = (1/6) / (1/2) = 1/3.

9. Biến cố độc lập

Giả sử sự xuất hiện của biến cố A không bị ảnh hưởng bởi sự xuất hiện hoặc sự không xuất hiện của biến cố B, thì biến cố A là độc lập của B.

Định nghĩa 17: Hai biến cố A và B là độc lập nếu một trong những điều sau đây thỏa mãn:

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)

P(AÇB) = P(A)P(B)

Nếu không, các biến cố là phụ thuộc.

Ví dụ 17: Tung xúc xắc cân bằng, cho:

A: Quan sát số lẻ.

B: Quan sát số chẵn.

C: Quan sát 1 hoặc 2.

a. A và B là các biến cố độc lập?

b. A và C là các biến cố độc lập?

Giải:

a. Vì P(A|B) = 0 và P(A) = ½ nên A và B không độc lập.

b. Vì P(A|C) = P(A) = ½ nên A và C độc lập.

10. Luật của xác suất:

1) Luật nhân:

Xác suất của giao của hai biến cố A và B là

P(AÇB) = P(A)P(B|A)

            = P(B)P(A|B)

Nếu A và B là độc lập, thì

P(AÇB) = P(A)P(B).

Xác suất của giao của ba biến cố A, B, và C là

P(AÇBÇC) = P[(AÇB)ÇC] = P(AÇB)P(C|AÇB)

                = P(A)P(B|A)P(C|AÇB).

Xác suất của giao của bất kỳ k biến cố, là

P(A₁ÇA₂ÇA₃Ç...ÇA_k) = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁ÇA₂)...P(A_k|A₁ÇA₂Ç...ÇA_k-1).

2) Luật cộng:

Xác suất của hợp của hai biến cố A và B là

P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB).

Nếu A và B là các biến cố loại trừ nhau, P(AÇB) = 0 và

P(AÈB) = P(A) + P(B).

Xác suất của hợp của ba biến cố A, B, và C là

P(AÈBÈC) = P[AÈ(BÈC)]

= P(A) + P(BÈC) - P[AÇ(BÈC)]

= P(A) + P(B) + P(C) - P(BÇC) - P[(AÇB) È(AÇC)]

= P(A) + P(B) + P(C) - P(BÇC) - P(AÇB) - P(AÇC) + P(AÇBÇC).

Vì (AÇB)Ç(AÇC) = AÇBÇC.

3) Luật đối:

Nếu A là một biến cố, thì

P(A) = 1- P(A').

Chứng minh: Vì A và A' là các biến cố loại trừ nhau và

S = A + A', nên P(S) = P(A) + P(A’) = 1. Suy ra,

P(A) = 1- P(A').

11. Luật của Xác suất Toàn phần

Giả sử S = B₁ÈB₂È...ÈBn với P(B_i)> 0, i = 1, 2, ..., n và B_iÇB_j = Æ cho i ¹ j. Thì cho bất kỳ biến cố A

P(A) = SP(B_i)P(A|B_i).

Chứng minh:

Bất kỳ tập con A của S có thể được viết như

A = AÇS = AÇ(B₁ÈB₂È...ÈBn)

   = (AÇB₁)È(AÇB₂)È...È(AÇBn)

Chú ý: Nếu i ¹ j, thì

(AÇB_i)Ç(AÇB_j) = AÇ(B_iÇB_j) = AÇÆ = Æ.

(AÇB_i) và (AÇB_j) là những biến cố loại trừ nhau. Do đó,

P(A) = P(AÇB₁) + P(AÇB₂) + ... + P(AÇBn)

         = P(B₁)P(A|B₁)+P(B₂)P(A|B₂)+...+P(Bn)P(AÇBn)

         = SP(B_i)P(A|B_i).

12. Quy tắc Bayes:

Giả sử S = B₁ÈB₂È...ÈBn với P(B_i)> 0, i = 1, 2, ..., n và B_iÇB_j = Æ cho i ¹ j. Thì

P(Bj|A) = P(Bj)P(A|Bj) / SP(Bi)P(A|Bi).

Chứng minh: Chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của xác suất có điều kiện và luật của xác suất toàn phần.

Chú ý: P(Bj|A)=P(AÇBj) / P(A)=P(Bj)P(A|Bj) / SP(Bi)P(A|Bi).

13. Gán xác suất cho biến cố

Có 2 cách gán xác suất cho một biến cố trong không gian mẫu rời rạc: điểm mẫu và biến cố thành phần.

1) Phương pháp điểm mẫu:

a. Xác định phép thử.

b. Xác định không gian mẫu S.

c. Xác định xác suất của mỗi điểm mẫu trong S.

d. Xác định biến cố A.

e. Tìm P(A) bằng cách cộng các xác suất của các điểm mẫu trong A.

Ví dụ: Tung đồng xu cân bằng ba lần. Tính xác suất đúng hai H trong ba tung.

Giải:

a. Phép thử gồm quan sát các kết quả H hay T cho mỗi ba tung đồng xu.

b. Biến cố đơn trong phép thử này là một chuỗi ba chữ của H hay T. Chữ đầu cho tung đồng xu lần 1, chữ thứ hai cho tung đồng xu lần 2, và ...

Tám biến cố đơn trong S là

E1: HHH, E2: HHT, E3: HTH, E4: THH, E5: HTT, E6: THT, E7: TTH, E8: TTT.

Không gian mẫu S = {E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8}.

c. Vì đồng xu cân bằng, các biến cố đơn là đồng đẳng; đó là, P(Ei) = 1/8, i = 1, 2, ..., 8.

d. Biến cố A = {đúng hai H trong ba tung} = {E2, E3, E4}.

e. P(A) = P(E2) + P(E3) + P(E4) = 1/8+1/8+1/8 = 3/8.

2) Phương pháp biến cố thành phần:

Biến cố A có thể là hợp, giao, hoặc đối của các biến cố khác.

Các bước dùng trong phương pháp biến cố thành phần:

a. Xác định phép thử.

b. Xác định không gian mẫu.

c. Xác định biến cố A là hợp, giao, hay đối của hai hoặc nhiều biến cố thành phần.

d. Tìm P(A) theo luật xác suất.

Ví dụ: Trong số các cử tri ở một thành phố, 40% là đảng Cộng hòa và 60% là đảng Dân chủ. Trong khi 60% của đảng Cộng hòa và 70% của đảng Dân chủ ủng hộ trái phiếu. Nếu cử tri được chọn ngẫu nhiên trong thành phố, xác suất mà người đó sẽ ủng hộ phát hành trái phiếu là gì?

Giải: Giả sử

F: Ủng hộ phát hành trái phiếu.

R: Cộng hòa được chọn.

D: Dân chủ được chọn.

Thì,

P(R) = .4, P(D) = .6, P(F|R) = .6, P(F|D) = .7

Ta có: P(F) = P[(FÇR)È(FÇD)] = P(FÇR) + P(FÇD)

Vì (FÇR) và (FÇD) là những biến cố loại trừ nhau.

P(FÇR) = P(F|R)P(R) = (.6)(.4) = .24

P(FÇD) = P(F|D)P(D) = (.7)(.6) = .42

P(F) = .24 + .42 = .66

Hình 2: Sơ đồ Venn cho các biến cố.