Mô hình toán học

Mô hình toán học 

1. Mô hình toán học của những hiện tượng thực tế thường được trình bày bởi những phương trình toán học.
2. Mô hình toán học của những dữ liệu thực tế cần chính xác và đơn giản.
3. Tìm phương trình cho mô hình toán học 

Bảng dữ liệu dưới đây trình bày số bán hàng mỗi năm (triệu đồng) cho hãng Kohl từ năm 1999 qua 2003. 

Năm	1999	2000	2001	2002	2003
Thật	4557	6152	7489	9120	10,282

Mùa Xuân 2004, giá trị bán hàng phỏng đoán của hãng là $7,740 triệu và $11,975 triệu. Làm thế nào để có những sự phỏng đoán trên.

Giải:

Những sự phỏng đoán trên có được là dùng số bán hàng đã có để phỏng đoán số bán hàng tương lai. Số bán hàng đã có được mô hình bởi phương trình đã được tìm thấy bởi phương pháp least squares regression analysis.

S=-40.86t...

Dùng t=14 cho 2004, ta phỏng đoán số bán hàng năm 2004 là 

S=-40.86(14)...

Sự phỏng đoán này hợp với giá trị đã có.

Đồ thị của mô hình 

...

1. Để thử sự chính xác của mô hình, ta có thể so sánh dữ liệu thật với giá trị đã cho bởi mô hình.

Năm	1999	2000	2001	2002	2003
Thật	4557	6152	7489	9120	10,282
Mô hình	4554.6	6119	7601.6	9002.6	10,322

Những đồ thị dưới đây giúp ta tạo dựng và dùng mô hình toán học:

 I. Logarithmic Scale 

Dữ liệu:

Khi dữ liệu quá lớn, ta không thể vẽ trên một đường số thông thường, nhưng ta có thể vẽ trên đường số theo logarithmic scale với 2 cách:

1. Đường số với lũy thừa 10 cách đều nhau:

2. Đường số với lôgarit cách đều nhau:

II. Biến đổi dữ liệu

Dùng Lôgarit để biến đổi dữ liệu của hàm số lũy thừa hay hàm số mũ: 

1. Với hàm số mũ, (x,y) của mỗi điểm dữ liệu phải được biến đổi.
2. Với hàm số lũy thừa, chỉ y của mỗi điểm dữ liệu được biến đổi.

Khi dữ liệu biến đổi được vẽ, ta có một đường thẳng, ta có thể tìm được phương trình của nó. Phương trình này cho biết sự liên hệ giữa (x,y) của dữ liệu đã biến đổi, nhờ nó ta có thể tìm được phương trình của dữ liệu gốc.

Ví dụ:

Bảng 1: Dữ liệu Hành tinh 

Hành tinh	d	t
Mercury	36.0	97.97
Venus	67.1	224.70
Earth	92.9	365.26
Mars	141.7	686.98
Jupiter	483.4	4,332.59
Saturn	886.1	10,759.20
Uranus	1,782.7	30,685.93
Neptune	2,793.1	60,187.64
Pluto	3,666.1	90,885.00

Chú ý:

(in millions of miles)

t (in days)

Đồ thị của dữ liệu hành tinh

Bảng 2: Dữ liệu biến đổi 

Hành tinh	x=logd	y=logt
Mercury	1.5563	1.9910
Venus	1.8267	2.3516
Earth	1.9680	2.5626
Mars	2.1513	2.8369
Jupiter	2.6843	3.6367
Saturn	2.9474	4.0317
Uranus	3.2510	4.4869
Neptune	3.4460	4.7795
Pluto	3.5642	4.9584

Đồ thị của dữ liệu biến đổi

Biến đổi dữ liệu:

1. Lấy lôgarit của mỗi điểm (x, y).

Đặt x=log(d) và y=log(t), tính x, y.

x=log(36.0) và y=log(97.97).

2. Vẽ đồ thị của dữ liệu đã biến đổi hình 11.4

3. Tìm phương trình đường thẳng dùng công thức điểm-độ dốc:

Từ 2 điểm (1.2, 1.5) và (2.2, 3) ta có phương trình đường thẳng sau

y=1.5x-.3

4. Từ phương trình trên, tìm phương trình cho biến số gốc, d và t như sau:

y=1.5x - .3

 Phương trình này diễn tả chuyển động của hành tinh: cho khoảng cách của hành tinh đến mặt trời, ta có thể tính thời gian cho hành tinh quay đủ một vòng quanh mặt trời.