Cho X và Y là hai tập hợp không rỗng. Hàm f từ X tới Y là một quy tắc cho phép mỗi phần tử x ∈ X có duy nhất một phần tử y ∈Y.
Ta gọi x là biến độc lập (hay đối số), y là biến phụ thuộc (hay giá trị của f tại x).
Tập X là miền xác định (hay miền), tập f(X) là miền giá trị (hay tập ảnh), tập Y là đối miền của hàm f.
Chú ý 1: Nếu f(X) ⊂ Y thì hàm f là hàm từ X vào Y.
Chú ý 2: Nếu f(X) = Y thì hàm f là hàm từ X lên Y.
Chú ý 3: Nhiều phần tử của X có thể có duy nhất một phần tử của Y.
Chú ý 4: Hàm f giống như một cái máy hay cái hộp đen, nếu ta cho một x vào hàm f, thì hàm f cho ra một f(x).
Thi dụ 1: Sau đây không phải là một hàm theo định nghĩa:
Thí dụ 2: Hàm f(x) = (1, a), (2, b), (3, b), (4, d)}
là hàm từ X = {1, 2, 3, 4} vào Y = {a, b, c, d}.
2. Ký hiệu
Hàm f với miền X và đối miền Y được ký hiệu là
f : X → Y
hay
Thí dụ: f : N → Z
Hàm f là một hàm từ N (tập số tự nhiên) tới Z (tập số nguyên).
Chú ý: Cho hàm f: X → Y:
Nếu Y là tập các số thực, thì f là hàm số thực.
Nếu Y là tập các số phức thì f là hàm số phức.
3. Xác định hàm
Có 3 phương pháp để xác định một hàm f : X → Y:
3.1 Phương pháp liệt kê những cặp thứ tự của hàm
Ta liệt kê những cặp thứ tự của hàm với những phần tử của miền X ở vị trí thứ nhất, những phần tử của miền giá trị f(X) ở vị trí thứ hai trong mỗi cặp thứ tự.
Thi dụ: Cho những cặp thứ tự
f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)}
Những cặp thứ tự này xác định một hàm f từ X = {1, 2, 3, 4} lên Y = {a, b, c}.
3.2 Phương pháp bảng
Ta liệt kê những phần tử của miền X ở cột thứ nhất, những phần tử của miền giá trị f(X) ở cột thứ hai của bảng.
Thí dụ: Cho bảng f
X_____f(X)
1 a
2 b
3 c
4 c
Bảng này xác định một hàm f từ X = {1, 2, 3, 4} lên Y = {a, b, c}.
3.3 Phương pháp giải tích
Ta dùng một biểu thức để xác định một hàm.
Thí dụ: f(x) = 2x
Từ biểu thức này, nếu miền X = {1, 2, 3, 4}, thì miền giá trị của hàm f phải là Y = {2, 4, 6, 8}.
4. Biểu diễn hàm
Đồ thị của hàm f : X → Y trên mặt phẳng Descartes gồm tất cả các điểm có toạ độ (x, f(x)).
Chú ý: Với mỗi x ∈X, f(x) là giá trị của f tại x, f(X) là miền giá trị của f.
Thí dụ: Đồ thị của hàm f(x) = 2x
5. Hàm 1-1
Định nghĩa: Nếu hai phần tử khác nhau của X có hai phần tử khác nhau của Y,
thì hàm từ X tới Y được gọi là hàm 1-1.
Thí dụ: Hàm f(x) = 2x là hàm 1-1, vì nếu a ≠ b, thì 2a ≠ 2b.
6. Toàn hàm
Định nghĩa: Nếu mỗi phần tử của Y có nhiều nhất một phần tử của X, thì hàm từ X tới Y được gọi là toàn hàm.
Thi dụ: Hàm f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}
từ X = {1, 2, 3, 4} lên Y = {a, b, c, d} là toàn hàm và 1-1.
Chú ý: Toàn hàm có f(X) = Y.
7. Song hàm
Định nghĩa: Nếu mỗi phần tử của X có một phần tử của Y và mỗi phần tử của Y có một phần tử của X, thì hàm từ X tới Y được gọi là song hàm.
Chú ý: Song hàm vừa là hàm 1-1 vừa là toàn hàm.
Thi dụ: Hàm f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}
từ X = {1, 2, 3, 4} lên Y = {a, b, c, d} là song hàm vì nó là hàm 1-1 và toàn hàm.
8. Hàm hợp
Định nghĩa: Cho hàm g : X → Y và f : Y → Z. Nếu x ∈X, có đúng một y = g(x) ∈ Y và có đúng một z = f(y) = f(g(x)) ∈ Z, thì ta có hàm hợp h : X → Z.
Hàm h là hàm hợp của hàm f và g, ký hiệu fog, với định nghĩa sau:
h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) với mọi x ∈X.
Thí dụ 1: Cho f(x) = sinx và g(x) = 2x, thì (fog)(x) = f(g(x)) = sin2x.
Chú ý 1: Hàm hợp fog chỉ đưọc định nghĩa khi miền giá trị của g là miền của f.
Chú ý 2: Thông thường, fog ≠ gof, cho nên thứ tự trong hàm hợp rất quan trọng.
Thí dụ 2: Cho f(x) = sinx và g(x) = 2x, ta có:
f(g(x)) = sin2x ≠ g(f(x)) = 2sinx
9. Hàm ngược
Định nghĩa: Nếu hàm f: X → Y là song hàm (vừa là hàm 1-1 vừa là toàn hàm),
thì hàm f−1: Y → X được gọi là hàm ngược.
Thí dụ: Hàm f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)} từ X = {1, 2, 3, 4} lên Y = {a, b, c, d}
là hàm 1-1 và toàn hàm.
Ta có:
f−1= {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} từ Y = {a, b, c, d} lên X = {1, 2, 3, 4} là hàm ngược của f.
10. Hàm bằng nhau
Định nghĩa: Nếu với mọi x ∈ X, f(x) = g(x), thì hàm f: X→Y bằng hàm g: X→Y.
Thí dụ: f(x) = x2 - 1 và g(x) = (x-1)(x+1) là bằng nhau.
11. Hàm đồng nhất
Định nghĩa: Nếu hàm từ X lên X cho phép mỗi phần tử là chính nó
thì ta gọi hàm ấy là hàm đồng nhất, viết là IX
Thí dụ: Với mỗi x ∈ X, f(x) = x.
Chú ý: Nếu f là hàm từ X tới Y thì ta có hàm hợp sau đây:
f o IX = f
IY o f = f
IX là hàm đồng nhất trên X, IY là hàm đồng nhất trên Y.
12. Hàm thu hẹp
Định nghĩa: Cho hàm f: X→Y. Nếu S⊂X, thì sự thu hẹp của f tới S, ký hiệu f |S là hàm từ S tới Y sao cho f |S(s) = f(s) với mọi s ∈S. Miền của f |S(s) là S. Miền giá trị của f |S(s) là f |S(S) ⊂ Y.
Thí dụ: Cho hàm f: R→R xác định bởi f(x) = sinx với 0≤ x ≤2π,
thì hàm g(x) = f | {x ∈R: 0≤ x ≤π} là hàm sinx được thu hẹp về tập
{x ∈R: 0≤ x ≤π}.
13. Hàm mở rộng
Định nghĩa: Cho f: X → Y, S⊂X và g: S → Y. Nếu f |S = g, thì f là hàm mở rộng của g ra X.
Chú ý: Nếu g là hàm thu hẹp của f, thì f là hàm mở rộng cùa g.
Thí dụ: Giả sử g: Q → {0, 1} là hàm được xác định bởi g(x) = 1 với
x ∈ Q,
Thì f: R → {0, 1} là hàm được xác định bởi f(x) = 0 với x ∈ R - Q và
f(x) = 1 với x ∈ Q là hàm mở rộng của hàm g.
No comments:
Post a Comment