Tập hợp là một khái niệm khởi đầu không định nghĩa của toán học. Ta có thể xem tập hợp như một họ không thứ tự của các đối tượng phân biệt được. Mỗi đối tượng là một phần tử của tập hợp. Phần tử của tập hợp có thể là bất cứ cái gì ta muốn nói: sinh vật, đồ vật, tập hợp, ...
Ta dùng chữ in hoa: A, B, ... để chỉ các tập hợp và các chữ thường: a, b, ... để chỉ các phần tử.
Ta có thể dùng "tập" thay cho "tập hợp".
Nếu phần tử x thuộc tập A, ta viết :
x ∈ A
Nếu phần tử x không thuộc tập A, ta viết:
x ∉ A
2. Diễn tả tập hợp
Ta dùng dấu móc {...} để diễn tả tập hợp. Trong dấu móc, ta có thể:
a) Liệt kê các phần tử của tập hợp:
Thí dụ 2.1: {1, 2, 3}
Chú ý 2.2: Vì tập hợp là một họ không thứ tự của các đối tượng phân biệt được. Ta có thể liệt kê các phần tử theo bất cứ thứ tự nào như sau:
{1, 2, 3}
{2, 1, 3}
{3, 2, 1}
Các tập trên đều như nhau.
Chú ý 2.3: Các phần tử liệt kê nhiều lần được xem như là một:
{1, 2, 3}
{1, 1, 1, 2, 3}
Các tập trên đều như nhau.
b) Nêu đặc tính chung P(x) của các phần tử của tập hợp:
Thí dụ 2.4: {x | x là một số tự nhiên}
Đây là tập các số tự nhiên, P(x) = x là một số tự nhiên.
Chú ý 2.5: Cách diễn tả này có dạng chung là:
{x | P(x)}
với P(x) là một mệnh đề của biến x. Dạng này diễn tả một tập hợp của các phần tử x khi mệnh đề P(x) đúng.
3. Tập con
Định nghĩa 3.1: Tập A là tập con của tập B, viết A ⊂ B, nếu mỗi phần tử của A là phần tử của B, tức là nếu x ∈ A thì x ∈ B.
Ta cũng có thể nói tập A bị chứa trong tập B hay B chứa A.
Thí dụ 3.2: {1, 2} ⊂{1, 2, 3}
Định nghĩa 3.1: Tập A là tập con của tập B, viết A ⊂ B, nếu mỗi phần tử của A là phần tử của B, tức là nếu x ∈ A thì x ∈ B.
Ta cũng có thể nói tập A bị chứa trong tập B hay B chứa A.
Thí dụ 3.2: {1, 2} ⊂{1, 2, 3}
Chú ý 3.3: Mọi phần tử x của tập A tạo thành tập con {x} của A, viết là {x} ⊂ A.
Chú ý 3.4: Để chứng minh A ⊂ B, ta chứng minh x ∈ A => x ∈ B.
4. Tập bằng nhauChú ý 3.4: Để chứng minh A ⊂ B, ta chứng minh x ∈ A => x ∈ B.
Định nghĩa 4.1: Tập A bằng tập B, viết A=B, nếu chúng có cùng các phần tử như nhau, tức là x ∈ A khi và chỉ khi x ∈ B.
Khi chúng không bằng nhau ta viết A ≠ B.
Thí dụ 4.2: A = {2, 4, 6}
B = {các số chẵn dương nhỏ hơn 7}
Ta có A = B.
Chú ý 4.3: Để chứng minh A = B, ta cần chứng minh x ∈ A <=> x ∈ B.
5. Tập rỗng
∅, {}, {x | x ≠ x}.
Định nghĩa 5.1: Tập rỗng là tập không có một phần tử nào, ký hiệu:
Chú ý 5.3: Tập rỗng là tập con của mọi tập.
Chú ý 5.4: Mỗi tập là tập con của chính nó.
6. Tập luỹ thừa
Định nghĩa 6.1: Tập luỹ thừa của tập X, ký hiệu P(X), là tập gồm tất cả các tập con của tập X.Nếu tập A ⊂ X, thì A ∈ P(X).
Chú ý 6.2: Tập rỗng và tập X là các phần tử của tập P(X).
Thí dụ 6.3: X = {1, 2, 3}
P(1, 2, 3) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
7. Các phép tính
7.1 Hợp của hai tập
Định nghĩa 7.1.1: Hợp của hai tập A và B, viết A∪B, là tập gồm tất cả các
phần tử thuộc A hoặc thuộc B.
Nghĩa là, A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B }.Định nghĩa 7.1.1: Hợp của hai tập A và B, viết A∪B, là tập gồm tất cả các
phần tử thuộc A hoặc thuộc B.
Thí dụ 7.1.2:
{1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
7.2 Giao của hai tập
Định nghĩa 7.2.1: Giao của hai tập A và B, viết A ∩ B, là tập gồm tất cả các phần tử thuộc A và thuộc B.
Nghĩa là, A ∩ B = { x | x ∈ A và x ∈ B }.
Thí dụ 7.2.2:
{1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}
Định nghĩa 7.2.3: Hai tập A và B gọi là rời nhau nếu chúng không có một phần tử nào chung cả, viết A ∩ B = ∅.
Thí dụ 7.2.4: Tập A = {1, 2, 3} và tập B = {4, 5, 6} là các tập rời nhau.
7.3 Phần bù
Định nghĩa 7.3.1: Phần bù tương đối của A trong B, viết B\A hay B-A, là tập gồm tất cả các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A. Đó là,
B\A = {x | x ∈ B và x ∉ A}.
Thí dụ 7.3.2: {2, 3, 4, 5} \ {1, 3, 4} = {2, 5}
Định nghĩa 7.3.3: Tập vũ trụ là một tập gồm tất cả những phần tử mà chúng ta muốn nói đến.
Thí dụ 7.3.4: Vũ trụ trong số học là tập các số tự nhiên.
Thí dụ 7.3.5: Vũ trụ trong giải tích là tập các số thực.
Định nghĩa 7.3.6: Cho vũ trụ U, phần bù tuyệt đối của tập con A của U,
viết CA hay Ac là U\A.
8. Tính chất của các phép tính
8.1 Tính kết hợp
a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C .
b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C .
| 8.2 Tính giao hoán |
a) A∪B = B∪A.
b) A ∩ B = B ∩ A.
8.3 Tính phân phối
a) A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
a) A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
b) A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
8.4 Luật De Morgan
a) A \ (B ∪C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
b) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).Chú ý 8.4.1: Khi tập B, C thuộc vũ trụ A, luật De Morgan trở thành:
a) (B ∪C)c = Bc ∩ Cc
b) (B ∩ C)c = Bc ∪Cc
No comments:
Post a Comment