Đại Số Trừu Tượng

Đại số trừu tượng là một ngành toán học nghiên cứu các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường, hay các cấu trúc tổng quát khác.

I. Nhóm

1. Định nghĩa:  

Nhóm (G, *) là một tập hợp G với một phép toán hai ngôi * thỏa mãn các tiên đề sau:

G1. Tính đóng: Với ∀a, b ∈ G, thì a * b ∈ G.

G2. Tính kết hợp: Với ∀a, b, c ∈ G, thì (a * b) * c = a * (b * c).

G3. Phần tử đơn vị (trung hòa): Có một phần tử đơn vị e ∈ G

sao cho a * e = a và e * a = a với mỗi phần tử a ∈ G.

G4. Phần tử nghịch đảo: Với mỗi phần tử a ∈ G, có một phần tử nghịch đảo a^-1 ∈ G

sao cho a * a^-1 = e và a^-1 * a = e.

Chú ý:
1) Ta đã dùng kí hiệu * cho phép toán của nhóm.

Khi + là phép toán của nhóm thì tổng của a và b sẽ là a+b.

Khi . là phép toán của nhóm thì tích của a và b sẽ là a.b; ta thường viết ab thay cho a.b.

Thông thường, tổng hay tích không có nghĩa là cộng hay nhân những con số.
2) Khi không có sự lầm lẫn, ta dùng G thay cho (G,*).

2. Ví dụ:  

1) Tập số thực (R) là một nhóm với phép cộng (+):

a. Với ∀a, b ∈ R: a + b ∈ R, (tính đóng).

b. Với ∀a, b, c ∈ R: (a + b) + c = a + (b + c), (tính kết hợp).

c. Với ∀a ∈ R: a + 0 = a, (0 là phần tử đơn vị).

d. Với ∀a ∈ R: –a + a = 0, (-a là phần tử đối lập).

2) Tập số thực khác không (R*) là một nhóm với phép nhân (.):

a. Với ∀a, b ∈ R*: ab ∈ R*, (tính đóng).

b. Với ∀a, b, c ∈ R*: (ab)c = a(bc), (tính kết hợp).

c. Với ∀a ∈ R*: a1 = a, (1 là phần tử đơn vị).

d. Với ∀a ∈ R*: aa^-1 = 1, (a^-1 là phần tử nghịch đảo).

3) Tập Z₅ = {0, 1, 2, 3, 4} là một nhóm với phép cộng modulo 5.

 

Giả sử mỗi số của tập Z₅ là một điểm nằm trên vòng tròn đơn vị và cách đều nhau.

Để cộng a và b, bắt đầu với a và di chuyển theo chiều kim đồng hồ b đơn vị quanh vòng tròn, thì a + b sẽ là điểm cuối.
Ví dụ: 3 + 2 = 0, 3 + 3 = 1, …
Như vậy:

a. Với ∀a, b ∈ Z₅: a + b ∈Z_5, (tính đóng).

b. Với ∀a, b, c ∈ Z₅: (a + b) + c = a + (b + c), (tính kết hợp).

c. Với ∀a ∈ Z₅: a + 0 = a, (0 là phần tử đơn vị).

d. Với ∀a ∈ Z₅: a + (5 – a) = 5, trùng với 0, (5-a là phần tử đối lập).

4) Tương tự, tập Z_n = {0, 1, 2, 3, …, n – 1} là một nhóm với phép cộng modulo n.

Zero là phần tử đơn vị, n-a là phần tử đối lập của a vì a + (n - a) = n.

II. Tính chất của nhóm:

1. Định lý: Phần tử đơn vị của một nhóm (G, *) là duy nhất.

Chứng minh:

Giả sử (G,*) có hai phần tử đơn vị là e và f.

Thì theo G3, ta có ef = e và ef = f. Suy ra, e = f.

Vậy, phần tử đơn vị của (G, *) là duy nhất, ký hiệu e_G. 

2. Định lý: Phần tử nghịch đảo của mỗi phần tử thuộc (G, *) là duy nhất.

Chứng minh:

Giả sử một phần tử g ∈ G có hai phần tử nghịch đảo là h và k.

Thì h = he = h(gk) = (hg)k = ek = k (theo G2, G3, G4).

Vậy, phần tử nghịch đảo của một phần tử g ∈ G là duy nhất, ký hiệu g^-1. 

3. Định lý: Với ∀a, b, c ∈ (G, *),

1) Nếu ab = ac, thì b = c.

2) Nếu ba = ca, thì b = c.

Chứng minh:

1) Giả sử ab = ac, thì nhân hai vế bên trái của ab = ac với a^-1, ta có:

a^-1(ab) = a^-1(ac)

(a^-1a)b = (a^-1a)c

eb = ec

b = c

2) Tương tự, nhân hai vế bên phải của ba = ca với a^-1, ta có b = c. 

4. Định lý: Với ∀a, b ∈ (G, *), nếu ab = e thì a = b^-1 và b = a^-1.

Chứng minh:

Nếu ab = e, thì ab = a a^-1 và b = a^-1. Tương tự, a = b^-1. 

5. Định lý: Với ∀a ∈ (G, *), thì (a^-1)^-1 = a.

Chứng minh:

Theo G4, thì a^-1a = e.

Theo định lý 4, thì a là nghịch đảo của a^-1, đó là a = (a^-1)^-1. 

6. Định lý: Với ∀a, b∈ (G, *), thì (ab)^-1 = b^-1a^-1.

Chứng minh:

Ta có (ab)(b^-1a^-1) = a(bb^-1)a^-1 = aea^-1 = aa^-1 = e (theo định lý 4). 

Chú ý: Theo G2 (Tính kết hợp) thì (ab)c = a(bc), nghĩa là dấu ngoặc không cần thiết và thứ tự không thay đổi. Vậy,

(a₁a₂…a_n)^-1 = a_n^-1…a₂^-1a₁^-1

7. Định nghĩa:

1) Nhóm G gọi là hữu hạn nếu tập G có số lượng phần tử hữu hạn.

2) Nhóm G gọi là vô hạn nếu tập G có số lượng phần tử vô hạn.

8. Định nghĩa (Bậc của nhóm):

Nếu G là nhóm hữu hạn, thì số lượng phần tử của tập G được gọi là bậc của G, kí hiệu là #G hay |G|.

III. Nhóm con

1. Định nghĩa:

Một tập con H của G, viết H ⊆ G, được gọi là một nhóm con (H, *) của một nhóm (G, *) nếu H thỏa mãn các tiên đề về nhóm và sử dụng cùng phép toán *.

2. Ví dụ:

1) Với phép cộng, Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.

2) Với phép nhân, nhóm số hữu tỉ khác không Q* là một nhóm con số thực khác không R*, kí kiệu Q* ⊆ R*:

a. Mỗi số hữu tỉ khác không là một số thực khác không.

b. Tích của bất kỳ hai số hữu tỉ khác không là số hữu tỉ khác không.

c. Nghịch đảo của bất kỳ số hữu tỉ khác không là số hữu tỉ khác không.

3) Tập {e} là nhóm con của mọi nhóm.

3. Định nghĩa:

1) Một nhóm con tách biệt H của G, viết H ⊂ G, là một nhóm con khác G .

2) Một nhóm con không tầm thường của G là bất kỳ nhóm con tách biệt nào của G chứa một phần tử khác e_G.

4. Định lý: Nếu H là một nhóm con của G, thì phần tử đơn vị e_H của H là phần tử đơn vị e_G của G.

Chứng minh:

Nếu h ∈ H, thì h * e_H = h; vì h ∈ G, h * e_G = h.

Vậy, e_H = e_G.

5. Định lý: Nếu H là một nhóm con của G, và h là một phần tử của H, thì nghịch đảo của h ∈ H là nghịch đảo của h ∈ G.

Chứng minh:

Gọi h và k là các phần tử của H, với h * k = e, thì h * h^-1 = e vì h thuộc G.

Vậy, k = h^-1.

6. Định lý: Nếu S là một tập con không rỗng của G, thì S là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu với ∀a, b ∈ S, a * b^-1 ∈ S.

Chứng minh:

1) Nếu với ∀a, b ∈ S, a * b^-1 ∈ S, thì:

e ∈ S, vì a * a^-1 = e ∈ S.

Với ∀a ∈ S, e * a^-1 = a^-1 ∈ S.

Với ∀a, b ∈ S, a * b = a * (b^-1)^-1 ∈ S.

Vậy, các tiên đề về nhóm được thoả mãn, nên S là một nhóm con của G.

2) Ngược lại, nếu S là một nhóm con của G, thì các tiên đề về nhóm được thoả mãn.

Vậy, phần tử đơn vị của S là phần tử đơn vị e của G.

Theo G4, với ∀b ∈ S, b^-1 ∈ S.

Theo G1, a * b^-1 ∈ S.

7. Định lý: Nếu S là một tập con không rỗng của G, thì S là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu với ∀a, b ∈ S, 

a * b ∈ S và a^-1 ∈ S.

Chứng minh: Tương tự như định lý trên.